Pour aller plus loin, nous avons voulu déterminer la valeur de l’aire de l’icosaèdre tronqué à partir de la mesure d’un côté a d’un hexagone ou d’un pentagone...

e) Calcul de l'aire de l'icosaèdre tronqué en fonction du côté a d'un pentagone ou d'un hexagone

Il nous faut tout d’abord calculer l’aire d’un pentagone régulier en fonction de son côté a.

Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O.

On place I le milieu de [AB]. Comme AOB est isocèle en O, OI est la hauteur de AOB issue de O. On a donc deux triangles rectangles : BIO rectangle en I et AIO rectangle en I.

On pose AB = a.

On a BI = AI = ½ AB = a/2.

On rappelle que AO = AE x cos (54°) ÷ (1 - cos (72°)) (voir partie 3a)

Donc AO = AB x cos (54°) ÷ (1 - cos (72°))

              = a x cos (54°) ÷ (1 - cos (72°)).

 

Pour des raisons pratiques, on arrondit :

cos (54°) ≈ 0,58779

et cos (72°) ≈ 0,30902.

 

Donc AO ≈ 0,58779a ÷ 0,69098 ≈ 0,85065a.

 

D’après le théorème de Pythagore,

IO² = AO² - AI²

      ≈ (0,85065a)² - (a/2)²

      ≈ 0,72361a² - a²/4

      ≈ 2,89443a²/4 - a²/4

      ≈ 1,89443a²/4

      ≈ 0,47361a²

 

D’où IO ≈ √(0,47361a²) ≈ 0,68819a.

 

Donc

Aire(AOB) = (IO x AB)/2

              ≈ (0,68819a x a)/2

              ≈ 0,34410a²                                       

 

Et

Aire(ABCDE) = 5 x Aire(AOB)

                 ≈ 1,72048a²

 

 

Il faut ensuite calculer l’aire d’un hexagone régulier en fonction de son côté a.

 

Soit ABCDEF un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O'.

On pose AF = a.

On rappelle qu’un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux (voir 3c).

Soit J le milieu du segment [AF]. Comme AO’F est équilatéral, (O’J) est la médiatrice de [AF]. Donc AJO’ et FJO’ sont deux triangles rectangles.

On a AF = AO’ = FO’ = a

et AJ = JF = ½ AF = a/2.

 

D’après le théorème de Pythagore,

JO’² = AO’² - AJ’²

       = a² - (a/2)²

       = 4a²/4 - a²/4

       = 3a²/4

 

D’où JO’ = √(3a²/4) ≈ 0,86603a.

 

Donc

Aire(AFO’) = (AF x JO’)/2

              ≈ (a x 0,86603a)/2

              ≈ 0,43301a²

 

Et

Aire(ABCDEF) = 6 x Aire(AFO’)

                  ≈ 2,59808a²

 

 

Et enfin

Aire(icosaèdre tronqué) = 20 x Aire(ABCDEF) + 12 x Aire(ABCDE)

                             ≈ 20 x 2,59808a² + 12 x 1,72048a²

                             ≈ 51,96160a² + 20,64576a²

                             ≈ 72,60736a²

 

 

Mais on peut aussi exprimer le volume de l'icosaèdre tronqué et donc du ballon.

f) Expression du volume du ballon en fonction du côté a

Une fois gonflé l’aire de l’icosaèdre tronqué ne change pratiquement pas.

On peut assimiler l’aire de l’icosaèdre tronqué à l’aire d’une sphère :

   Aire(icosaèdre tronqué) ≈ Aire(sphère)

                      72,60736a² ≈ 4π x r²

            72,60736a²/(4π) ≈ r²

                        5,77791a² ≈ r²

                 √(5,77791a²) ≈ r

                          2,40373a ≈ r

 

Ceci nous permet d'obtenir l'expression du rayon du ballon en fonction de a, le côté d'un hexagone ou d'un pentagone.

 

Et on a de ce fait :

Volume(ballon) = (4/3) x π x r3

                    ≈ (4/3) x π x (2,40373a)3

                    ≈ (4/3) x π x 13,88853a3

                    ≈ 58,17614a3

 

__________________________________________________

 

Exemples :

 

- Pour un ballon dont les polygones ont un côté a de 4 cm :

r ≈ 9,61492 cm

A ≈ 1161,71776 cm²

V ≈ 3723,27296 cm3

- Pour un ballon dont les polygones ont un côté a de 5 cm :

r ≈ 12,01865 cm

A ≈ 1815,184 cm²

V ≈ 7272,0175 cm3