2) Introduction à la partie pratique : les caractéristiques d'un icosaèdre tronqué

Pour les journalistes sportifs, le « ballon rond » désigne souvent le football, par rapport au rugby qui utilise un ballon de forme ovale. Mais le ballon n'a de «rond» que le nom...

Il faut trouver une structure adaptée au football, la balle doit évoluer dans toutes les directions avec la même facilité. La vitesse et la trajectoire du ballon ne doivent dépendre que du coup de pied du joueur qui l'envoie et pas d'autres facteurs (météorologiques notamment).

Les concepteurs vont donc se tourner vers les polyèdres réguliers, certes à faces planes, mais qui, une fois gonflés, peuvent devenir très proches des  sphères. Les mathématiciens savent depuis l'Antiquité qu'il n'existe que quelques polyèdres totalement réguliers, qu'on appelle solides de Platon tels que le tétraèdre, l’octaèdre , le dodécaèdre et enfin l’icosaèdre (polyèdre à 20 faces triangulaires)...

Le polyèdre de Platon qui possède le plus de faces est l'icosaèdre, mais les angles de ses sommets sont encore trop violents. La solution optimale est la figure intermédiaire entre le dodécaèdre et l’icosaèdre : l’icosaèdre tronqué. Alors, on va le tronquer en coupant chaque arête au tiers de sa longueur, si bien que ce qui reste de chaque face triangulaire forme un hexagone, tandis que les pyramides enlevées à chaque sommet donnent lieu à des pentagones réguliers. Le nouveau polyèdre obtenu, semi-régulier, a donc 60 sommets et 32 faces, 20 hexagonales et 12 pentagonales, dont les arêtes ont toutes la même longueur: voilà notre icosaèdre tronqué, qui une fois gonflé donne notre ballon traditionnel à 32 faces.

On peut alors vérifier l'existence de l'icosaèdre tronqué dans l'espace par la relation d’Euler «f + s – a = 2 ». Elle s’applique à tout solide dans l’espace, par exemple le dé. Il a 6 faces (f), 8 sommets (s), 12 arêtes (a). On trouve alors pour ce dé : 6 + 8 – 12 = 2. . L’icosaèdre vérifie bien la relation d’Euler puisqu'il est composé de 20 hexagones (faces blanches) et 12 pentagones (faces noires) ce qui nous permet d’obtenir : 32 faces + 60 sommets – 90 arêtes = 2.