4) TP : Application du modèle mathématique de l'aire et du volume du ballon

Nous allons maintenant vérifier le modèle mathématique trouvé aux parties 3e et 3f.

Pour cela, nous avons commencé par mesurer le volume de quelques ballons par déplacement d'eau, en les plaçant un par un dans une cuvette et en calculant les variations du niveau de l'eau selon le dispositif ci-dessous :

Nous avons alors obtenu les résultats suivants :

	Qualitatif	Mesures physiques
Ballon	Etat	V ballon (cm³)	m ballon (g)
Noir	normal	4458	382,9
Rose	normal	4381	380,6
Rouge	bien gonflé	3456	313,2
Blanc	un peu dégonflé	4535	350,4

Ensuite, nous avons mesuré le diamètre du ballon avec un pied à coulisse. On en a ensuite déduit le rayon, et on a pu calculer l'aire d'une sphère (forme la plus approchante du ballon ou d'un icosaèdre tronqué gonflé) selon la formule :

A sphère = 4пr²

puis le volume correspondant à cette même sphère selon la formule :

V sphère = 4/3 x п x r³

On obtient le tableau de valeurs suivant avec des valeurs arrondies (chiffres significatifs) :

	Mesures		Calculs à partir de ces mesures
Ballon	diamètre (cm)	rayon (cm)	A sphère = 4пr² (cm²)	V sphère = 4/3 x п x r³ (cm³)
Noir	20,8	10,4	1,36.10³	4,71.10³
Rose	20,6	10,3	1,33.10³	4,58.10³
Rouge	19,1	9,55	1,15.10³	3,65.10³
Blanc	20,4	10,2	1,31.10³	4,45.10³

Enfin, après avoir mesuré le côté a d'un pentagone ou d'un hexagone du ballon à l'aide d'une règle, on obtient les valeurs suivantes avec le modèle de l'aire (partie 3e)

A ballon ≈ 72,60736a²

ainsi que le modèle du volume (partie 3f)

V ballon ≈ 58,17614a³

Là aussi, on a dû arrondir les valeurs trouvées en raison des chiffres significatifs.

	Mesures	Calculs à partir du modèle mathématique
Ballon	côté a (cm)	A ballon ≈ 72,60736a² (cm²)	rayon (cm)	V ballon ≈ 58,17614a³ (cm³)
Noir	4,3	1,3.10³	10	4,6.10³
Rose	4,3	1,3.10³	10	4,6.10³
Rouge	3,9	1,1.10³	9,4	3,5.10³
Blanc	4,2	1,3.10³	10	4,3.10³

On peut remarquer que tous ces résultats sont relativement proches. Les écarts d'aires n'excèdent pas 60 cm² soit moins de 5% de l'aire totale du ballon. Les écarts de volumes entre les mesures données par le modèle et celles données par l'expérience physique atteignent au maximum 235 cm³ soit moins de 6% du volume total. En conséquence, on peut dire que le modèle mathématique de l'aire et du volume d'un ballon en fonction du côté a est confirmé.